弧图、翻转距离与哈密顿三角剖分

我们证明，每个具有 $n\ge 6$ 个顶点的三角剖分（极大平面图）都可以通过少于 $n/2$ 次组合边翻转序列翻转为一个哈密顿三角剖分。先前最好的上界利用 $4$-连通性作为确立哈密顿性的手段。但一般而言，要达到一个 $4$-连通三角剖分大约需要 $3n/5$ 次翻转。我们的结果将 $n$ 个顶点的组合三角剖分翻转图直径的上界从 $5.2n-33.6$ 改进到 $5n-23$。我们还证明，对于每个 $n$ 个顶点的三角剖分，存在少于 $2n/3$ 条边的同时翻转以得到一个 $4$-连通三角剖分。边数的界是紧的，直至一个加性常数。作为另一应用，我们证明每个 $n$ 个顶点的平面图都容许一个具有少于 $n/2$ 个双弧的弧图，也就是说，在细分少于 $n/2$ 条（潜在共 $3n-6$ 条）边之后，所得图容许一个 $2$-页书嵌入。