局部哈密顿图与曲面上极大图的最小边数

我们证明每个具有 $n\ge 3$ 个顶点且可能含重边的局部哈密顿图至少具有 $3n-6$ 条边，且等号成立当且仅当它对球面进行三角剖分。由此推得，图 $G$ 在某个二维曲面 $\Sigma$（不必紧）上的每个边极大嵌入至少具有 $3n-6$ 条边，且等号成立当且仅当 $G$ 也对球面进行三角剖分。若此外 $G$ 为简单图，则对每个顶点 $v$，其在 $\Sigma$ 上围绕 $v$ 的边的循环次序与在球面上围绕 $v$ 的顺时针或逆时针定向相同。若 $G$ 不含 4 个顶点的完全图且至少有 4 个顶点，则两种嵌入中的面边界相同。