3-流形的$L^2$-Alexander挠率的次数

对于具有空或不可压缩环形边界的不可约可定向紧$3$-流形$N$，与$N$的任意实一阶上同调类$\phi$相关的全$L^2$--Alexander挠率$\tau^{(2)}(N,\phi)(t)$由正实变量$t$的函数表示。本文证明$\tau^{(2)}(N,\phi)$连续、处处正、且在两端渐近单项。此外，$\tau^{(2)}(N,\phi)$的次数等于$\phi$的Thurston范数。该结果确认了J. Dubois, S. Friedl, and W. Lück的猜想，并解决了W. Li and W. Zhang的问题。对于任意容许同态$\gamma:\pi_1(N)\to G$，若$G$是剩余有限的且$(N,\gamma)$弱无环，则$L^2$--Alexander挠率$\tau^{(2)}(N,\gamma,\phi)$连续且处处正。此时，可赋予$\tau^{(2)}(N,\gamma,\phi)$一个广义次数。而且，广义次数以$\phi$的Thurston范数为界。