Thurston 障碍与 Ahlfors 正则共形维数

设 $f: S^2 \to S^2$ 为球面到其自身的具有有限临界后集 $P_f$ 的扩张分支覆盖映射。与 $f$ 相关联的是球面上 Ahlfors 正则度量的一个典型拟对称类 $\GGG(f)$，在其中动力学是（非经典地）共形的。我们证明 $$\inf_{X \in \GGG(f)} \hdim(X) \geq Q(f)=\inf_\Gamma \{Q \geq 2: \lambda(f_{\Gamma,Q}) \geq 1\}.$$ 下确界取遍所有多曲线 $\Gamma \subset S^2-P_f$。映射 $f_{\Gamma,Q}: \R^\Gamma \to \R^\Gamma$ 定义为 $$f_{\Gamma, Q}(\gamma) =\sum_{[\gamma']\in\Gamma} \sum_{\delta \sim \gamma'} \deg(f:\delta \to \gamma)^{1-Q}[\gamma'],$$ 其中第二个求和取遍 $\gamma$ 的所有在 $S^2-P_f$ 中与 $\gamma'$ 自由同伦的原像 $\delta$，而 $\lambda(f_{\Gamma,Q})$ 是其 Perron-Frobenius 主特征值。这推广了 Thurston 的观察，即如果 $Q(f)>2$，则不存在 $f$ 不变的经典共形结构。