分支覆盖的算法问题 III/V：擦除映射、轨道空间与 Birman 正合序列

设$\tilde f\colon(S^2,\tilde A)\to(S^2,\tilde A)$为Thurston映射，并令$M(\tilde f)$为其映射类双集：通过对$\tilde f$进行映射类群$(S^2,\tilde A)$的前复合与后复合而得到的、相对于$\tilde A$同痕的映射类。设$A\subseteq\tilde A$为$\tilde f$-不变子集，并令$f\colon(S^2,A)\to(S^2,A)$为诱导映射。我们给出Birman短正合序列的类似物：正如映射类群$\mathrm{Mod}(S^2,\tilde A)$是$\mathrm{Mod}(S^2,A)$被穿孔球面的基本群作迭代扩张一样，$M(\tilde f)$是$M(f)$被$f$的动态双集作迭代扩张。Thurston映射的Thurston等价经典地归结为映射类双集中的共轭问题。我们的映射类双集短正合序列使我们能在多项式时间内将$M(\tilde f)$中的共轭问题归约到$M(f)$中的共轭问题。在$\tilde f$为几何的（或为扩张的，或双覆盖于双曲环面自同态）情形下，我们证明动态双集$B(f)$连同由$\tilde A$诱导的“双集画像”是$\tilde f$的完全共轭不变量。在此过程中，我们将$(2,2,2,2)$-映射的双集完整描述为环面自同态双集被2阶循环群作的交叉积，并证明非循环轨道球面双集没有自同构。最后我们给出显式、高效的算法，求解扩张映射或环面映射双集的共轭与中心化子问题。