分支覆盖的算法方面 II/V。球面双集及其分解

我们考虑“Thurston映射”：具有最终周期临界点的球面的分支自覆盖，并证明它们之间的Thurston等价问题（映射及其临界轨道的连续变形）是可判定的。更精确地说，我们考虑映射类群通过前和后复合在分支覆盖上的作用，并将它们代数编码为“映射类双集(mapping class bisets)”。我们展示保持多曲线的映射的映射类双集如何分解为更小复杂度的映射类双集，称为“小映射类双集”。我们表述球面的分支自覆盖间的Thurston等价判定问题，用映射类双集中的共轭和中心化问题表示。我们对映射类双集的分解结果将这些判定问题归约到小映射类双集；它们对应于有理映射、同胚、以及被环面自同态双重覆盖的映射，它们的共轭和中心化问题分别通过复分析、群论和线性代数可解。分支覆盖本身也被编码为双集，带有基本群的作用。我们刻画那些源于拓扑球面间分支覆盖的双集，并将此对应扩展到带多曲线的球面间映射，其代数对应是“双集的球面树”。为说明Thurston映射与同胚的区别，我们给出一个具有无限生成中心化子的Thurston映射——而同胚的中心化子总是有限生成的。