2-球面的分支覆盖的组合表示

William Thurston (1946-2012) 通过将平面图与其关联，给出了2-球面的一般分支自覆盖的组合刻画 10.48550/arXiv.1502.04760。通过推广局部平衡的概念，作者将 Thurston 的结果推广到涵盖2-球面的任意分支覆盖。作为一个应用，我们针对每个给定的分歧轮廓给出了实有理函数等价类数目的下界。此外，作为一个推论，我们获得了某个定理的新证明 ( 10.2307/3062151 , 10.4007/annals.2009.170.863 , 10.1090/S0894-0347-09-00640-7 )，该定理对应于计数几何中一个现实问题的特例，即已知的 B. & M. Shapiro 猜想，现已成为定理 \cite{MR2552110}。我们证明的定理版本关注一般有理函数，保证若该函数的所有临界点均为实数，则可通过与 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{1}$ 的自同构的后复合将其变为具有实系数的有理映射。我们给出的证明是构造性的，并基于初等论证。