带一个锥点的球面环面的模空间

在本文中，我们确定了亏格为一且具有常曲率 $1$ 的黎曼度量以及一个角为 $2\pi\vartheta$ 的锥点的曲面之模空间 $\mathcal{MS}_{1,1}(\vartheta)$ 的拓扑。特别地，对于非奇数的 $\vartheta\in (2m-1,2m+1)$，$\mathcal{MS}_{1,1}(\vartheta)$ 是连通的，具有轨道欧拉示性数 $-m^2/12$，且其拓扑仅依赖于整数 $m>0$。对于奇数 $\vartheta=2m+1$，$\mathcal{MS}_{1,1}(2m+1)$ 有 $\lceil{m(m+1)/6}\rceil$ 个连通分支。对于偶数 $\vartheta=2m$，$\mathcal{MS}_{1,1}(2m)$ 具有自然复结构，并且对于 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 中指数为 $m^2$ 的某个子群 $G_m$（当 $m>1$ 时非正规），它双全纯同构于 $\mathbb{H}^2/G_m$。