低亏格非标准 Nikulin 曲面的模空间

本原极化的亏格 $g$ Nikulin 曲面 $(S,M,H)$ 有两种类型，我们根据格嵌入 $\mathbb{Z}[H] \oplus_{\perp} \mathbf{N} \subset \rm{Pic}(S)$ 是否为本原的，称之为标准型与非标准型。其中 $H$ 为亏格 $g$ 极化，$\mathbf{N}$ 为 Nikulin 格。我们聚焦于仅出现于奇亏格的非标准情形。特别地，我们研究了亏格 $g$ 非标准 Nikulin 曲面模空间的双有理几何，并证明了其在 $g=7,11$ 时的有理性和在 $g=9$ 时存在其有理二重覆盖。此外，若 $(S,M,H)$ 为上述模空间中的一般点且 $(C,M|_C)$ 为 $|H|$ 中的一般 Prym 曲线，我们确定了包含 $(C, M|_C)$ 的亏格 $g$ 非标准 Nikulin 曲面族的维数（$3\leq g\leq 11$）；这完成了我们此前工作中开启的 Prym-Nikulin 映射的研究。