当 n|24 且 M 无平方因子时 X_0(n^2M) 上的模单位与尖点除子类

对于正整数 $N$，令 $\mathscr C(N)$ 为 $J_0(N)$ 中由次数为 $0$ 的尖点除子的等价类生成的子群，$\mathscr C(N)(\mathbb Q):=\mathscr C(N)\cap J_0(N)(\mathbb Q)$ 为其 $\mathbb Q$-有理子群。又令 $\mathscr C_{\mathbb Q}(N)$ 为 $\mathscr C(N)(\mathbb Q)$ 中由 $\mathbb Q$-有理尖点除子生成的子群。我们证明当 $N=n^2M$，其中 $n$ 为整除 $24$ 的某个整数、$M$ 为某个无平方因子整数时，两个群 $\mathscr C(N)(\mathbb Q)$ 与 $\mathscr C_{\mathbb Q}(N)$ 相等。为此，我们证明在此类 $N$ 上 $X_0(N)$ 的所有模单位均为形如 $\eta(m\tau+k/h)$（$mh^2|N$ 且 $k\in\mathbb Z$）的函数之积，并确定此类函数之积成为 $X_0(N)$ 上模单位的充要条件。