关于有理 Eisenstein 素数与模 Jacobian 簇的有理尖点群

设 $N$ 为非无平方正整数，$\ell$ 为奇素数且 $\ell^2$ 不整除 $N$。考虑 $\Gamma_0(N)$ 的权为 $2$ 的 Hecke 环 $\mathbb{T}(N)$，以及第 3 节中定义的包含 $\ell$ 的 $\mathbb{T}(N)$ 的有理 Eisenstein 素数。若 $\mathfrak{m}$ 为这样一个有理 Eisenstein 素数，我们证明 $\mathfrak{m}$ 具有 $(\ell, ~\mathcal{I}^D_{M, N})$ 的形式，其中 $\mathbb{T}(N)$ 的理想 $\mathcal{I}^D_{M, N}$ 亦在第 3 节中定义。此外，我们证明 $\mathcal{C}(N)[\mathfrak{m}] \neq 0$，其中 $\mathcal{C}(N)$ 是 $J_0(N)$ 的有理尖点群。为此，我们计算了第 4 节中定义的尖点除子 $\mathcal{C}^D_{M, N}$ 的精确阶，以及 $\mathcal{I}^D_{M, N}$ 在 $\mathbb{T}(N)\otimes \mathbb{Z}_\ell$ 中的指数。