单位球上等参叶状结构诱导的 Minkowski 范数与 Hessian 等距

设 $M_t$ 为单位球 $(S^{n-1}(1),g^{\mathrm{st}})$ 上具有 $d$ 个主曲率值的等参叶状结构。利用由 $M_t$ 诱导的球坐标，我们构造了一个具有表示 $F=r\sqrt{2f(t)}$ 的 Minkowski 范数，其推广了 $(\alpha,\beta)$-范数与 $(\alpha_1,\alpha_2)$-范数的概念。利用球局部标架技术，我们对于 $F=r\sqrt{2f(t)}$ 何时真正定义一个 Minkowski 范数这一问题给出了确切而明确的回答。利用类似技术，我们研究了由 $M_t$ 诱导的两个 Minkowski 范数之间的 Hessian 等距 $\Phi$，其保持定向并固定球 $\xi$-坐标。描述此 $\Phi$ 有两种方式，或通过常微分方程组，或通过其到 $M_t$ 任意法平面的限制，后者则化为满足特定对称性与 d-性质的 $\mathbb{R}^2$ 上 Minkowski 范数之间的 Hessian 等距。当 $d>2$ 时，我们证明此 $\Phi$ 可通过粘合正标量乘法以及 Legendre 变换与正标量乘法之间的复合得到，故其必满足对任意正交分解 $\mathbb{R}^n=\mathbf{V}'+\mathbf{V}''$ 的 (d)-性质，即对任意非零 $x=x'+x''$ 与 $\Phi(x)=\overline{x}=\overline{x}'+\overline{x}''$，其中 $x',\overline{x}'\in\mathbf{V}'$ 且 $x'',\overline{x}''\in\mathbf{V}''$，我们有 $g_x^{F_1}(x'',x)=g_{\overline{x}}^{F_2}(\overline{x}'',\overline{x})$。作为副产品，我们证明如下结果。在指示曲面 $(S_F,g)$ 上，其中 $F$ 为 $M_t$ 诱导的 Minkowski 范数且 $g$ 为 Hessian 度量，叶状结构 $N_t=S_F\cap \mathbb{R}_{>0}M_0$ 是等参的。Laugwitz 猜想对 $M_t$ 诱导的 Minkowski 范数 $F$ 成立，即若其 Hessian 度量 $g$ 在 $\mathbb{R}^n\backslash\{0\}$ 上平坦且 $n>2$，则 $F$ 是欧氏的。