芬斯勒几何中的比奈-勒让德度量

对于每个芬斯勒度量 $F$，我们关联一个黎曼度量 $g_F$（称为比奈-勒让德度量）。变换 $F \mapsto g_F$ 是 $C^0$-稳定的，并且具有良好的光滑性，这与先前的构造不同。黎曼度量 $g_F$ 在芬斯勒度量 $F$ 的共形或双Lipschitz形变下也表现良好。这些性质使其成为芬斯勒几何中的有力工具，我们通过解决若干著名的芬斯勒几何问题来说明这一点。我们还推广并给出了若干已知结果的新的更简短的证明。特别地，我们回答了 M. Matsumoto 关于两个闵可夫斯基空间之间局部共形映射的问题，描述了芬斯勒流形上所有可能的共形自映射和所有自相似性。我们还对所有紧共形平坦芬斯勒流形进行了分类，解决了 S. Deng 和 Z. Hou 关于局部对称芬斯勒空间的 Berwald 特性的猜想，并将 H.C. Wang 关于芬斯勒流形等距群最大维度的经典结果推广至所有维度的流形。本文的大多数证明遵循以下方案：利用对应 $F \mapsto g_F$，我们将芬斯勒问题化简为比奈-勒让德度量的类似问题，后者更简单并且在我们考虑的大多数情况下已被解决。黎曼问题的解为我们提供了有助于解决初始芬斯勒问题的额外信息。我们的方法甚至在缺乏芬斯勒几何中通常假设的强凸性条件时依然适用。光滑性假设也可以被部分光滑性假设所替代，后者是我们在本文中引入的概念。因此，我们的结果适用于芬斯勒文献中通常不考虑的一大类芬斯勒度量。