关于 Finsler 度量的定义与例子

对于流形 M 上的标准 Finsler 度量 F，其定义域为整个切丛 TM，且其基本张量 g 是正定的。然而，在许多情况下（例如著名的 Kropina 度量和 Matsumoto 度量），这两个条件被放宽，从而得到伪 Finsler 度量（具有任意 g）或锥 Finsler 度量（定义域为 TM 的一个“锥”开区域）。我们的目的有二。首先，阐述此类推广下出现的诸多微妙之处，即锥伪 Finsler 度量（作为前置步骤，包括仿射空间上的 Minkowski 锥伪范数情形）。其次，提供一些判据，以确定由 Finsler 度量与一形式的齐次组合所得的伪 Finsler 度量 F 何时再次成为 Finsler 度量——或者更准确地说，确定 g 保持正定的锥定义域。这种组合在不同方向上推广了已知的 $(\alpha, \beta)$ 度量。值得注意的是，我们重新得到并扩展了 Finsler 度量的经典例子，并显式计算了它们的基本张量。