常曲率的射影平坦 Finsler 度量

Hilbert 第四问题是刻画 R^n 中有界凸域上使得直线为最短路径的（不必可逆的）距离函数。由 Finsler 度量诱导的距离函数被视为光滑的。测地线为直线的 Finsler 度量称为射影的。已知任何射影 Finsler 度量的旗曲率是切向量的标量函数（若为黎曼的则必为常数）。因此研究常曲率的此类度量是一个自然的问题。本文研究光滑情形下的 Hilbert 第四问题。我们首先利用幂级数给出常曲率 K=c 的 x-解析射影 Finsler 度量 F(x,y) 的公式，其系数用 f(y):=F(0, y)、h(y):=(1/2)F(x,y)^{-1}F_{x^k}(0, y)y^k 与 c 表示。然后，对任意给定的对 {f(y), h(y)} 及任意常数 c，我们给出具有常曲率 K=c 且 F(0, y)=f(y)、F_{x^k}(0, y)y^k=2f(y)h(y) 的光滑射影 Finsler 度量的代数公式。借助这些公式，我们得到了几个常曲率的特殊射影 Finsler 度量，它们可用作 Finsler 几何中的模型。