对称空间、强各向同性不可约性与等测地线性质

齐性流形 $G/H$ 上的一条光滑曲线若对任意 $G$-不变黎曼度量都是齐性测地线，则称为黎曼等测地线。若对任一点 $x\in G/H$ 和任意非零 $y\in T_x(G/H)$，存在黎曼等测地线 $c(t)$ 满足 $c(0)=x$ 且 $\dot{c}(0)=y$，则称齐性流形 $G/H$ 为黎曼等测地线的。这两个概念可自然转移到芬斯勒情形，给出芬斯勒等测地线和芬斯勒等测地空间的定义。我们分别证明黎曼等测地空间和芬斯勒等测地空间的两个分类定理。首先，具有连通单连通拟紧致 $G$ 和连通 $H$ 的齐性流形 $G/H$ 是黎曼等测地线的，当且仅当它可分解为欧氏因子与紧致强各向同性不可约因子的乘积。其次，具有紧致半单 $G$ 的齐性流形 $G/H$ 是芬斯勒等测地线的，当且仅当它可局部分解为乘积，其中每个因子是 $Spin(7)/G_2$、$G_2/SU(3)$ 或紧致型对称空间。这些结果意味着紧致型对称空间和强各向同性不可约空间可由等测地线性质刻画。作为应用，我们对具有紧致半单 $G$ 的齐性流形 $G/H$ 进行分类，使得 $G/H$ 上所有 $G$-不变芬斯勒度量都是 Berwald 度量。这提出了齐性芬斯勒几何中的一个新课题：系统研究其上所有 $G$-不变芬斯勒度量满足某几何性质的齐性流形 $G/H$。