(2+1)维闵可夫斯基空间中具有规定曲率的类空凸曲面

我们证明了在(2+1)维闵可夫斯基空间中任意依赖域 $D$ 内闵可夫斯基问题解的存在性与唯一性，前提是 $D$ 包含于某点未来的光锥内。即，可以在高斯映射的像上找到具有规定曲率函数的光滑凸柯西曲面。这与单位圆盘上蒙日-安培方程 $\det D^2 u(z)=(1/\psi(z))(1-|z|^2)^{-2}$ 的解有关，边界条件为 $u|_{\partial\mathbb{D}}=\varphi$，其中 $\psi$ 为光滑正函数，$\varphi$ 为有界下半连续函数。进而我们证明，依赖域 $D$ 包含主曲率以正常数为下界的凸柯西曲面，当且仅当对应的函数 $\varphi$ 属于齐格蒙德类。此外，在此情形下，对于每一个 $K<0$，含于 $D$ 内的常曲率 $K$ 曲面具有有界主曲率。由此，我们通过 $\partial \mathbb{D}$ 的齐格蒙德函数，得到了闵可夫斯基空间中有界形状算子的双曲平面等距浸入的完整分类。最后，我们证明了在闵可夫斯基问题假设下的每个依赖域，随着 $K$ 在 $(-\infty,0)$ 中变化，都被常曲率 $K$ 曲面所叶状化。