Minkowski 问题、$\mathbb{R}^3$ 中的新常曲率曲面及其应用

设 $m\in\mathbb{N},$ $m\geq 2,$ 且设 $\{p_j\}_{j=1}^m$ 是 $\mathbb{S}^2$ 的一个有限子集，使得 $0\in\mathbb{R}^3$ 位于其正凸包内。在本文中，我们利用经典的 Minkowski 问题，展示了 $\mathbb{R}^3$ 中光滑凸体 $K$ 的完整族，其边界曲面由一个具有常 Gauss 曲率（或常平均曲率）的开曲面 $S$ 和 $m$ 个平面紧圆盘 $\bar{D_1},...,\bar{D_m}$ 组成，使得 $S$ 的 Gauss 映射是到 $\mathbb{S}^2-\{p_j\}_{j=1}^m$ 的同胚，且对于所有 $j$ 有 $D_j\bot p_j$。我们推导了在广义 Minkowski 问题、$\mathbb{S}^2$ 区域间调和微分同胚的存在性、$\mathbb{R}^3$ 中毛细管表面的存在性以及 Monge-Ampère 型 Hessian 方程等方面的应用。