旋转不变的凸体 Minkowski 类

Minkowski 类是欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中凸体空间的一个闭子集，其在 Minkowski 加法和非负伸缩下封闭。若 $\mathbb{R}^n$ 中凸体的支撑函数在球谐函数展开中包含所有阶数的非零谐函数，则称该凸体为通用的。如果 $K$ 是通用的，则存在一类稠密的凸体 $M$ 具有如下性质：存在凸体 $T_1, T_2$ 使得 $M + T_1 = T_2$，且 $T_1, T_2$ 属于由 $K$ 生成的旋转不变 Minkowski 类。本文证明了每一个非中心对称的凸体 $K$ 都有一个任意接近 $K$ 的线性像，该像是通用的。对于中心对称凸体，该结果的一个修正版本也成立。通过这种方式，S. Alesker 的结果得到了加强，同时给出了一个更初等的证明。