具有极小测地线的 Finsler 圆盘的最小面积

我们证明，每一个半径为 $r$、其内部测地线为长度极小化的 Finsler 圆盘，其 Holmes--Thompson 面积至少为 $\frac{6}{\pi} r^2$。此外，我们构造例子表明该不等式是锐的，并观察到等号情形由一种非旋转对称度量达到。这与黎曼情形下的 Berger 猜想形成对比，后者断言圆半球是极值的。为证明我们的定理，我们使用随机测地线对 Finsler 度量进行离散化。作为一个辅助结果，我们证明了 Blaschke 与 Santaló 的积分几何公式在几乎无捕获测地线的 Finsler 流形上成立。