弱 1-强制算子的极大值原理及其在毛细管和预定平均曲率图中的应用

本文在完备非紧黎曼流形 $M$ 上建立了弱 1-强制算子 $L$ 的极大值原理。特别地，我们寻找能够保证形式为 $L(u)\geq f(u)$ 的微分方程的解 $u$ 在 $M$ 上满足 $f(u)\leq 0$ 的条件。我们近期的一篇论文已经考虑了 $p>1$ 的弱 $p$-强制算子的情况，包括 $p$-拉普拉斯算子，特别是 $p=2$ 时的 Laplace-Beltrami 算子。作为主要结果的一个推论，我们推导出这类算子的比较原理。此外，我们将这些结果应用于涉及平均曲率算子的几何情形，该算子是一个典型的弱 1-强制算子。我们首先考虑作用于 $\mathcal C^2$ 类函数 $u$ 的 $\mathcal C^1$ 算子 $L$ 的情况，并在本文的最后一节展示如何将我们的结果扩展到作用于仅为连续且局部 $W^{1,1}$ 正则的函数 $u$ 上的较低正则性算子 $L$ 的情况。