边界退化线性微分方程的局部极大值扰动与比较原理

我们针对具有部分 Dirichlet 边界条件的边界退化椭圆和抛物线性二阶偏微分算子 $Au := -\mathrm{tr}(aD^2u)-<b, Du> + cu$，建立了强和弱极大值原理。系数 $a(x)$ 假设在域 $\mathscr{O}\subset\mathbb{R}^d$ 的边界 $\partial\mathscr{O}$ 的一个非空开子集 $\partial_0\mathscr{O}$（称为\emph{退化边界部分}）上为零，而在\emph{非退化边界部分} $\partial_1\mathscr{O} := \partial\mathscr{O}\setminus\overline{\partial_0\mathscr{O}}$ 的任何点上 $a(x)$ 均不为零。如果 $C^2(\mathscr{O})$ 或 $W^{2,d}_{\mathrm{loc}}(\mathscr{O})$ 中的 $A$-次调和函数 $u$ 直至 $\partial_0\mathscr{O}$ 是 $C^1$ 的，并且在 $\partial_0\mathscr{O}$ 中的某点具有严格的局部极大值，我们证明可以通过添加一个合适的函数 $w\in C^2(\mathscr{O})\cap C^1(\mathbb{R}^d)$ 将 $u$ 扰动为一个严格 $A$-次调和函数 $v=u+w$，该函数在 $\mathscr{O}$ 内部具有局部极大值。因此，我们获得了针对 $C^2(\mathscr{O})$ 和 $W^{2,d}_{\mathrm{loc}}(\mathscr{O})$ 中直至 $\partial_0\mathscr{O}$ 为 $C^1$ 的 $A$-次调和函数的强和弱极大值原理。仅需非退化边界部分 $\partial_1\mathscr{O}$ 即可进行边界比较。我们的结果扩展了 Daskalopoulos 和 Hamilton (1998)、Epstein 和 Mazzeo [arXiv:1110.0032] 以及作者本人 [arXiv:1204.6613, 1306.5197] 的结果，在这些先前工作中，额外假设 $\mathrm{tr}(aD^2u)$ 连续直至 $\partial_0\mathscr{O}$ 并在其上为零，从而为 $C^2(\mathscr{O})$ 中的 $A$-次调和函数得出可比的极大值原理，而此处针对 $W^{2,d}_{\mathrm{loc}}(\mathscr{O})$ 中 $A$-次调和函数所发展的结果则是全新的。