二维常正曲率三体问题中与质量无关的相对平衡构形

在牛顿势下的平面三体问题中，众所周知任意质量位于等边三角形顶点处都会产生一个相对平衡，即拉格朗日相对平衡。事实上，等边三角形是该问题中与质量无关的相对平衡构形的唯一形状。二维正曲率三体问题是牛顿三体问题到球面 $\mathbb{S}^2$ 的自然推广，其中质量在余切势的影响下运动。S.~Zhu 证明了在此问题中，旋转子午线上的等边三角形对任意质量都能形成相对平衡。这是在 $\mathbb{S}^2$ 上可形成相对平衡的质量无关形状的首个报道。在本文中，我们证明除了等边三角形外，在旋转子午线上还存在一个等腰三角形，其从 $\mathbb{S}^2$ 中心看去的两个相等角由 $2^{-1}\arccos((\sqrt{2}-1)/2)$ 给出，对任意质量选择总能形成相对平衡。此外我们证明，等边三角形与上述等腰三角形相对平衡是具有此特性的唯一情形。我们还证明每个由质量无关形状生成的相对平衡并非与其他相对平衡孤立。