常曲率空间中二体问题的约化与相对平衡

我们考虑常非零曲率曲面上的二体问题，并对相对平衡及其稳定性进行分类。在双曲平面上，对于每个 q>0，我们证明存在两个质量间距为 q 的相对平衡。其中之一在几何上属于椭圆型，另一个属于双曲型。双曲型总是不稳定的，而椭圆型在充分靠近时稳定，但在远离时不稳定。在正曲率球面上，若质量不同，则除 {\pi}/2 外的每个角间距都存在唯一的相对平衡（RE）。当该角为锐角时，RE 为椭圆型；当该角为钝角时，RE 可以是椭圆型或线性不稳定。我们利用 KAM 论证表明，锐角情形几乎总是非线性稳定的。若质量相等，则存在两族相对平衡：一族中质量与旋转轴成等角（“等腰 RE”），另一族中两质量在球心处张成直角。当粒子张角为锐角时等腰 RE 为椭圆型，为钝角时不稳定。在 {\pi}/2 处，两族相遇并发生叉式分岔。直角 RE 在远离分岔点处为椭圆型。在两种几何设定下，我们均使用全局约化消除对称群，并分析所得的约化方程，该方程定义在 5 维相空间上并具有一个 Casimir 函数。