分母含单侧极大平均的循环和的下界

设 $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$ 为正实数的 $n$ 元组，序列 $(x_i)_{i\in\mathbb{Z}}$ 为其 $n$ 周期延拓。给定正整数 $n$ 元组 $\mathbf{r}=(r_1,\dots,r_n)$，令 $a_i$ 为 $x_{i+1},\dots,x_{i+r_i}$ 的算术平均。我们构造循环和 $S_n(\mathbf{x},\mathbf{r})=\sum_{i=1}^n x_i/a_{i}$，其模式遵循长期研究的 Shapiro 和（对应所有 $r_i=2$）以及更一般的 Diananda 和（所有 $r_i$ 相等）。我们求出与 $\mathbf{r}$ 无关的下界 $A_{n,*}=\inf_{\mathbf{r}}\inf_{\mathbf{x}} S_n(\mathbf{x},\mathbf{r})$ 当 $n\to\infty$ 时的渐近式：其为 $A_{n,*}=e\log n - A+O(1/\log n)$。