距Shapiro问题三步之遥：分母含max或min函数的图形和式下界

以Shapiro循环和式$\sum_{i=1}^n x_i/(x_{i+1}+x_{i+2})$（下标按模$n$相加）为出发点，我们引入一类更广泛的循环和式，称为广义Shapiro-Diananda和式，其分母为集合$\{x_{i+j_1},\dots,x_{i+j_k}\}$的$p$阶幂平均，其中$j_1,\dots,j_k$为固定的互异整数且$1\leq i\leq n$。进一步推广，我们将第$i$个分母中幂平均的变元集合替换为$\{1,\dots,n\}$的任意非空子集，视其为有$n$个节点的有向图中节点$i$的出邻域集合。我们称此类和式为图形幂和式，因其结构由有向图控制。与研究充分的Shapiro和式情形一样，所探究的是给定“和式”作为正变量$x_1,\dots,x_n$函数的最大下界。我们证明$p=+\infty$（max-和式）与$p=-\infty$（min-和式）的情形是可处理的。对给定图关联的max-和式，其最大下界恒为整数；对强连通图，它等于该图的围长。对类似的min-和式，我们未能将其最大下界与已知组合不变量相联系；仅给出若干估计并描述一种求最大下界的方法，该方法对$n$具有阶乘复杂度。对二级最小化——即对各强连通$n$节点图min-和式的最大下界在该图类上取最小——有令人满意的分析处理。所得结果（仅依赖于$n$）渐近于$e\ln n$。