高阶有限元 de Rham 复形的低阶预处理

本文提出一个统一框架，用于为高阶有限元 de Rham 复形构造谱等价的低阶加密离散。该理论涵盖 $H^1$、$H({\rm curl})$ 与 $H({\rm div})$ 中的扩散问题，其基于将加密网格上的低阶离散与用于 N\'ed\'elec 和 Raviart-Thomas 元的高阶基函数相结合，后者利用了多项式 histopolation（利用特定区域上给定均值值的多项式拟合）的概念。这种谱等价性，结合利用低阶离散构造的代数多重网格方法，为高阶有限元 de Rham 复形问题带来了高度可扩展的无矩阵预处理器。此外，针对高阶内罚不连续 Galerkin (DG) 离散，开发了一种新的最低阶（分片常数）预处理器，并给出了谱等价结果及代数多重网格方法的收敛性证明。在所有情形下，谱等价结果均独立于多项式次数与网格尺寸；对于 DG 方法，还独立于罚参数。这些新求解器灵活且易用；任何用于低阶问题的“黑盒”预处理器都可用于为相应高阶问题创建高效且有效的预处理器。基于有限元库 MFEM 中的实现，给出了一系列数值实验。这些预处理器的理论性质得到证实，且该方法的灵活性与可扩展性在一系列具挑战性的三维问题上得到展示。