多项式次数上具有最优复杂度的 de Rham 复形多重网格求解器
数值分析
2023-12-08 v2 数值分析
摘要
L^2 de Rham 复形的 Riesz 映射经常作为更复杂问题快速预条件子构造中的子问题出现。在本工作中，我们针对这些 Riesz 映射的高阶有限元离散提出了多重网格求解器，其时间与空间复杂度与和式因子化算子作用相同，即在 Krylov 方法背景下关于多项式次数具有最优复杂度。我们方法的关键思想是为 de Rham 复形中的每个空间在参考六面体上构建具有 L^2 与 H(d)-内积（d∈{grad, curl, div}）中正交性的新有限元。由此产生的稀疏性使得在可分离情形下可快速求解 Pavarino、Arnold–Falk–Winther 与 Hiptmair 空间分解中出现的块问题。在非可分离情形下，该方法可应用于一个按构造即为稀疏的辅助算子。通过对稀疏块问题进行精确 Cholesky 分解，作用复杂度是最优的，但 setup 代价与存储不是。我们通过更细的 Hiptmair 空间分解以及使用施加由静凝聚产生之稀疏模式的不完全 Cholesky 分解克服了这一点，无论求解器是否使用静凝聚该方法均适用。这给出了关于多项式次数在时间与平面复杂度上均最优的多重网格松弛。
引用
@article{arxiv.2211.14284,
title = {Multigrid solvers for the de Rham complex with optimal complexity in polynomial degree},
author = {Pablo D. Brubeck and Patrick E. Farrell},
journal= {arXiv preprint arXiv:2211.14284},
year = {2023}
}