高阶有限元 Duffy de Rham 复数与低阶精炼 preconditioning

本文构建了适用于低阶精炼 preconditioning 的 $L^2$ de Rham 复数上的高阶有限元空间。该空间采用 Duffy 变换，通过从单位正方形上拉回适当选择的多项式空间构建；除了分段多项式外，这些空间还包含某些有理函数，并且在最低阶情况下还原为标准 Lagrange、N\'ed\'elec 和无穈有限元。我们建立了刚度矩阵在这些空间上的谱等价性，这种等价性独立于多项式次数，这是通过证明 Jacobi 加权 $L^2$ 范数下的 Jacobi-Gauss-Lobatto 插值算子在平移范数中的稳定性而实现的。低阶精炼 preconditioner 还可用于对标准分段多项式有限元空间进行 preconditioning。低阶精炼系统可通过代数多网格方法有效 preconditioning。数值结果在多种高阶问题上都得到了验证，包括混合网格和曲面网格。