一类抛物方程弱解的对数型上界估计

众所周知，对于 $\Omega_T\equiv\Omega\times(0,T)$ 中一致抛物方程 $\partial_t\varphi-\mbox{div}(A\nabla \varphi) +\omega\varphi= f$ 的初边值问题，其弱解 $\varphi$ 满足一致估计 $$\|\varphi\|_{\infty,\Omega_T}\leq \|\varphi\|_{\infty,\partial_p\Omega_T}+c\|f\|_{q,\Omega_T}, \ \ \ c=c(N,\lambda, q, \Omega_T),$$ 只要 $q>1+\frac{N}{2}$，其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中具有 Lipschitz 边界的有界域，$T>0$，$\partial_p\Omega_T$ 是 $\Omega_T$ 的抛物边界，$\omega\in L^1(\Omega_T)$ 且 $\omega\geq 0$，$\lambda$ 为系数矩阵 $A$ 的最小特征值。该估计是尖锐的，原因在于当 $q=1+\frac{N}{2}$ 时它通常不成立。本文中我们证明该上界关于 $\|f\|_{q,\Omega_T}$ 的线性增长可被改进。确切地说，我们建立了 \begin{equation*} \|\varphi\|_{\infty,\Omega_T}\leq \|\varphi_0\|_{\infty,\partial_p\Omega_T}+c\|f\|_{1+\frac{N}{2},\Omega_T}\left(\ln(\|f\|_{q,\Omega_T}+1)+1\right). \end{equation*}