定位与计数具有秩一耦合的 Kuramoto 模型的平衡点

Kuramoto 模型描述了耦合振荡器之间的同步行为，并在众多领域得到了成功应用。这些应用中有许多寻求相位相干解，即模型的平衡点。历史上，研究主要集中在振荡器数量 $n$ 极大且可视为无限的情况。然而最近，在电气工程等领域出现了 $n$ 值较为适中的应用。对于这些情况，可以通过利用代数几何技术求解多项式方程组来定位平衡点。然而，此类系统的典型求解方法会定位所有复数解，尽管只有实数解才给出平衡点。在本文中，我们提出了一种仅定位模型实数解的算法，从而在某些情况下将计算时间缩短了几个数量级。这是通过选择特定的平衡点代表以及随之而来的系统代数解耦来实现的。严格证明了该算法的正确性（即它仅找到且找到所有平衡点）。此外，该算法可以使用区间方法实现，从而能够以任何给定的精度近似平衡点，而无需显著增加计算量。我们还比较了这种求解方法与其他计算代数几何方法。此外，对该方法的分析使我们能够渐近地证明，平衡点的最大数量以与相应多项式系统的复数解数量相同的速率增长。最后，我们猜想了对任意数量振荡器平衡点最大数量的一个上界，该上界推广了已知情况，并在一系列显式提供的自然频率上取得。