$BV$函数的局部 Poincar\'e 常数与平均振荡泛函

我们引入了$BV$函数的局部 Poincar\'e 常数概念，作为理解其平均振荡与小尺度下全变分之间关系的工具。这使得我们能够研究由 Ambrosio、Bourgain、Brezis 和 Figalli 引入的$\varepsilon$尺寸立方体上的 BMO 型半范数的变体。更准确地说，我们通过考虑允许边长小于或等于$\varepsilon$的立方体的一族泛函，放宽了尺寸约束。当$\varepsilon$趋于零时，这些新泛函收敛到定义在$BV$上的局部泛函，该泛函可以用局部 Poincar\'e 常数和全变分通过积分来表示。这与原始泛函形成对比，后者的极限定义在$SBV$上，并且对于具有非平凡 Cantor 部分的函数可能不存在。此外，我们通过由$BV$爆破的最大平均振荡给出的单元公式，刻画了函数的局部 Poincar\'e 常数。作为此次刻画的推论，我们证明了新的极限泛函将原始泛函扩展到了所有$BV$函数。最后，我们讨论了刚性性质以及其他将函数的局部 Poincar\'e 常数与其精细性质联系起来的相关挑战性问题。