Takagi-范德华尔肯函数的局部等值集

本文研究 Takagi-范德华尔肯函数 $$T_r(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\phi(r^n x)}{r^n} ,\quad x\in [0,1], \quad r \in \mathbb{Z}^+,$$ 其中 $\phi(x)={\rm dist}(x,\mathbb{Z})$ 表示 $x$ 到最近整数的距离。%我们证明对于每个偶整数 $r \geq 2$，若 $y$ 为均匀分布于 $T_r$ 范围内的随机变量，则其包含于等值集 $L_r(y)$ 中的局部等值集的期望数量为 $1 + 1/r$。Lagarias 和 Maddock [Level sets of the Takagi function: local level sets, \emph{Monatsh. Math.}, {\bf 166} (2012), No. 2, 201--238] 引入了为经典 Takagi 函数 $T_2$ 定义局部等值集的概念。他们证明若 $y$ 为均匀分布于 $T_2$ 范围内的随机变量，则其包含于等值集 $L_2(y)$ 中的局部等值集的期望数量等于 $3/2$。我们通过定义所有偶整数 $r$ 上的类似概念的局部等值集，扩展了该研究。随后我们证明，对于每个偶整数 $r\geq 2$，若 $y$ 为均匀分布的随机变量，则其包含于等值集 $L_r(y)$ 中的局部等值集的期望数量等于 $1 + 1/r$。