度量空间中的Takagi-van der Waerden函数及其Lipschitz导数

我们通过设定$f_{a,b}(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty b^n d\big(x,S_n\big)$引入带参数$a{>}b{>}0$的Takagi--van der Waerden函数，其中$S_n$是度量空间$X$中的一个最大$\frac1{a^n}$-分离集。因此，如果$X=\mathbb R$且$S_n=\frac1{a^n}\mathbb Z$，那么$f_{2,1}$是Takagi函数，$f_{10,1}$是van der Waerden函数，它们是处处不可微函数的著名例子。然后我们证明，如果$a>b>2$且$x$是$X$的非孤立点，则大Lipschitz导数$\mathrm{Lip} f_{a,b}(x)=+\infty$。此外，如果对于某个$\lambda$和每个非孤立点$x\in X$，壳孔隙度$p^s(X,x)<\lambda<1$，那么对于足够大的$a>b$和任何非孤立点$x\in X$，小Lipschitz导数$\mathrm{lip} f_{a,b}(x)=+\infty$。特别地，这对于任何赋范空间都成立。最后，我们证明对于无孤立点的度量（赋范）空间$X$中的任何开集$A$，存在一个连续函数$f$，使得$\mathrm{Lip} f(x)=+\infty$（且$\mathrm{lip} f(x)=+\infty$）恰好发生在$A$上。