关于 Takagi-van der Waerden 函数的水平集

本文考察了连续但处处不可微函数 \begin{equation*} f_r(x)=\sum_{n=0}^\infty r^{-n}\phi(r^n x), \end{equation*} 的水平集，其中 $\phi(x)$ 是 $x$ 到最近整数的距离，$r$ 是大于等于 2 的整数。利用对称相关随机游走的性质，证明了 $f_r$ 的几乎所有水平集（关于 $f$ 值域上的 Lebesgue 测度）是有限的；但对于从 $[0,1)$ 中随机选取的横坐标 $x$，水平 $y=f_r(x)$ 处的水平集几乎必然是不可数的。因此，$f_r$ 的占用测度是奇异的。