Takagi 函数的水平集有多大？
经典分析与常微分方程
2012-09-04 v2
摘要
设 T 为 Takagi 的连续但处处不可微函数。本文从概率论和 Baire 范畴两个角度考虑 T 的水平集的大小。我们首先给出三个近期发表结果的更初等证明。第一个结果归功于 Z. Buczolich，它表明几乎所有水平集（关于 T 值域上的 Lebesgue 测度）都是有限的。第二个结果归功于 J. Lagarias 和 Z. Maddock，它表明水平集中点的平均数量是无穷大。第三个结果同样归功于 Lagarias 和 Maddock，它表明一个水平集中包含的局部水平集的平均数量是 3/2。在论文的第二部分，我们证明，与上述结果相反，具有不可数无穷水平集的纵坐标 y 的集合是剩余的，并给出了该集合的一个相当显式的描述。本文还通过证明大多数水平集（在 Baire 范畴意义下）包含无穷多个局部水平集，并且连续统多个水平集甚至包含不可数多个局部水平集，对 Lagarias 和 Maddock 的一个问题给出了否定回答。最后，几个主要结果被推广到求和项中具有任意符号的 T 的一个版本。
引用
@article{arxiv.1102.1616,
title = {How large are the level sets of the Takagi function?},
author = {Pieter C. Allaart},
journal= {arXiv preprint arXiv:1102.1616},
year = {2012}
}
备注
Added a new Section 5 with generalization of the main results; some new and corrected proofs of the old material; 29 pages, 3 figures