带符号 Takagi 函数的水平集

本文研究了形如 $f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{r_n}{2^n}\phi(2^n x)$ 的函数的水平集，其中 $\phi(x)$ 是 $x$ 到最近整数的距离，且对每个 $n$，$r_n$ 等于 1 或 -1。此类函数被称为带符号 Takagi 函数。当对所有 $n$ 均有 $r_n=1$ 时，即为经典的 Takagi 函数，这是一个著名的连续但处处不可微函数的例子。对于上述形式的 $f$，其最大值和最小值可用序列 $\{r_n\}$ 表示。研究进一步表明，$f$ 的几乎所有水平集（关于 $f$ 值域上的 Lebesgue 测度）都是有限的，但具有不可数大水平集的纵坐标 $y$ 的集合在 $f$ 的值域中是剩余集。我们将 Lagarias 和 Maddock 提出的 Takagi 函数局部水平集的概念推广至任意带符号 Takagi 函数。研究表明，包含在 $f$ 的一个水平集中的局部水平集的平均数量等于 $f$ 图形高度的倒数，因此该平均值介于 3/2 和 2 之间。