算术同余保持：从有限到无限

整数上的各种问题引向环上同余保持函数类，即对所有 $a,b$ 满足 $a-b$ 整除 $f(a)-f(b)$ 的函数。我们用有理多项式（仅取整数值）的和以及给出 $1,2,\ldots,k$ 的最小公倍数的函数刻画了这些函数类。获得这些刻画的工具是“提升”：如果 $\pi\colon X\to Y$ 是满射态射，且 $f$ 是 $Y$ 上的函数，则 $f$ 的提升是 $X$ 上的函数 $F$ 使得 $\pi\circ F=f\circ\pi$。在本文中，我们通过在证明有限情形可提升为无限情形来关联有限与无限概念。对于 $p$-adic 和 profinite 整数，我们通过提升得到类似刻画。我们还证明了 $Z$ 的可识别子集的格在同余保持函数的逆像下是稳定的。