闭区间上一类连续函数水平集中点间距离的特征刻画

给定连续函数 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 满足 $f(a)=f(b)$，我们研究满足 $f(x)=f(y)$ 的距离 $|x-y|$ 的集合。特别地，我们证明该集合必须包含的唯一距离是那些将 $[a,b]$ 等分的距离。此外，我们证明它必须包含区间 $[0,b-a]$ 的至少三分之一。最后，我们探讨了一些高维推广。