临界粗糙度经典分形函数 Φ-变差的 probabilistic 方法
概率论
2020-09-14 v1 经典分析与常微分方程
摘要
我们考虑具有临界粗糙度的 Weierstrass 与 Takagi-van der Waerden 函数。在此情形下，这些函数对所有 p>1 的 p 次变差为零，但同时也处处不可微，因此也不具有有界变差。我们通过证明这些函数在 b 进制分割序列上拥有有限、非零且线性的 Wiener--Young Φ-变差（其中 Φ(x)=x/√(-log x)）来解决这一表面上的悖论。对于 Weierstrass 函数，我们的证明基于鞅中心极限定理（CLT）。对于 Takagi--van der Waerden 函数，当某一参数 b 为奇数时使用马尔可夫链的中心极限定理，而当 b 为偶数时使用标准 CLT。
引用
@article{arxiv.2009.05420,
title = {A probabilistic approach to the $\Phi$-variation of classical fractal functions with critical roughness},
author = {Xiyue Han and Alexander Schied and Zhenyuan Zhang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2009.05420},
year = {2020}
}