分数阶变分局部链式法则的失效

我们证明，对于 arXiv:1809.08575 中定义的分数阶变分，链式法则的局部版本不可能成立。在 $n = 1$ 的情形下，我们证明了更强的结果：给出一个函数 $f \in BV^{\alpha}(\mathbb{R})$，使得 $|f| \notin BV^{\alpha}(\mathbb{R})$。局部链式法则的失效源于具有有界分数阶变分的非负函数某些令人惊讶的刚性性质，而这些性质又由局部化到半空间的分数阶 Hardy 不等式导出。我们的方法利用了 arXiv:2111.13942 的结果以及先前论文 arXiv:1809.08575、arXiv:1910.13419、arXiv:2011.03928、arXiv:2109.15263 中的分布方法。作为副产品，我们改进了 arXiv:1611.07204、arXiv:1806.07588 中获得的分数阶 Hardy 不等式，并证明了与之密切相关的 Meyers-Ziemer 迹不等式的分数阶版本。