拓扑一维分形上的局部 Dirichlet 形式、Hodge 理论与 Navier-Stokes 方程
泛函分析
2018-06-29 v4 数学物理
微分几何
度量几何
math.MP
概率论
摘要
我们考虑与紧连通拓扑一维空间上的强局部正则 Dirichlet 形式相关的有限能量和 微分形式。我们引入了局部恰当性和局部调和性的概念，并证明了 Hodge 分解，该分解在我们的上下文中表明：所有恰当 1-形式空间的正交补等于所有局部调和 1-形式的闭张成空间。然后我们引入相关的 Hodge Laplacian，并定义了有限能量 1-形式的调和性概念。作为推论，在某种容量分离假设下，我们证明调和 1-形式空间非平凡当且仅当经典 Čech 上同调非平凡。在经典自相似分形的例子中，这些空间通常是平凡的或无穷维的。最后，我们研究 Navier-Stokes 类型模型，并证明在我们的假设下，它们只有稳态无散解。特别地，我们解决了一大类拓扑一维但具有任意 Hausdorff 维数和谱维数的分形上 Navier-Stokes 和 Euler 方程的存在唯一性问题。
引用
@article{arxiv.1206.6644,
title = {Local Dirichlet forms, Hodge theory, and the Navier-Stokes equations on topologically one-dimensional fractals},
author = {Michael Hinz and Alexander Teplyaev},
journal= {arXiv preprint arXiv:1206.6644},
year = {2018}
}