临界情形下的线性随机方程

我们考虑随机方程 $X \stackrel{d}= \sum_{i=1}^N A_iX_i + B$ 的解，其中 $N$ 是一个随机自然数，$B$ 和 $A_i$ 是随机正数，$X_i$ 是 $X$ 的独立副本，且也与 $N,B,A_i$ 独立。该方程解的性质主要编码在函数 $m(s)=\mathbb{E}\big[\sum_{i=1}^N A_i^s \big]$ 中。在本文中，我们研究函数 $m$ 与直线 $y=1$ 相切的临界情形。随后，在若干进一步假设下，我们证明了解的存在性并描述了其渐近行为。