关于带重缩放的典型方程的有界连续解

带重缩放的“典型”方程由 $y(x)=\iint_{\mathbb{R}^2} y(a(x-b))\,\mu(\mathrm{d}a,\mathrm{d}b)$ ($x\in\mathbb{R}$) 给出，其中 $\mu$ 是概率测度；等价地，$y(x)=\mathbb{E}\{y(\alpha(x-\beta))\}$，其中 $\alpha,\beta$ 为随机变量，$\mathbb{E}$ 表示期望。示例包括：(i) 泛函方程 $y(x)=\sum_{i} p_{i} y(a_i(x-b_i))$；(ii) 泛函微分（“缩尺”/pantograph）方程 $y'(x)+y(x)=\sum_{i} p_{i} y(a_i(x-c_i))$ ($p_{i}>0$, $\sum_{i} p_{i}=1$)。通过将解 $y(x)$ 解释为相关马尔可夫链 $(X_n)$ 的调和函数，我们获得了 Liouville 型结果，断言任何有界连续解均为常数。特别地，在“临界”情形 $\mathbb{E}\{\ln|\alpha|\}=0$ 下，此类定理在 $y(x)$ 一致连续的条件下成立；后者在关于 $\beta$ 的温和正则性假设下得到保证，例如缩尺方程 (ii) 即满足该假设。对于 $a_i=q^{m_i}$ ($m_i\in\mathbb{Z}$, $\sum_i p_i m_i=0$) 的方程 (i)，该结果可在无需一致连续性假设的情况下得证。证明利用了迭代方程 $y(x)=\mathbb{E}\{y(X_\tau)\,|\,X_0=x\}$（具有适当的停时 $\tau$），这是将 Doob 可选停时定理应用于鞅 $y(X_n)$ 的结果。