关于平衡广义 pantograph 方程的有界解
概率论
2007-05-23 v2 经典分析与常微分方程
摘要
关于同时存在超前与滞后变元的线性泛函微分方程有界解的存在性与刻画问题，是由 T. Kato 在 1970 年代初联系 pantograph 方程 y'(x)=ay(qx)+by(x) 的分析提出的。在本文中，我们针对形如 -a_2 y''(x)+a_1 y'(x)+y(x)=int_0^infty y(qx) m(dq) 的平衡广义 pantograph 方程回答了该问题，其中 a_1 > or = 0, a_2 > or = 0, a_1^2+a_2^2>0，且 m 是一个概率测度。具体而言，令 K:=int_0^infty ln(q) m(dq)，我们证明：若 K < or = 0，则方程不存在非平凡（即非常数）有界解；而若 K>0，则这样的解存在。临界情形 K=0 的结果解决了一个长期存在的问题。证明利用了与马尔可夫过程理论的联系，即平衡 pantograph 方程的任何解都是相对于某个具有“乘法”跳变的扩散过程生成元 L 的 L-调和函数。本文还包含了针对简单原型方程 y'(x)+y(x)=(1/2)y(qx)+(1/2)y(x/q) 的三个“初等”证明，分别基于扰动、分析和概率技术，这些证明可作为高效的探索性工具在其他情形中发挥作用。
引用
@article{arxiv.math/0703897,
title = {On bounded solutions of the balanced generalized pantograph equation},
author = {Leonid Bogachev and Gregory Derfel and Stanislav Molchanov and John Ockendon},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0703897},
year = {2007}
}