非临界情形下原型函数方程的分析

我们研究形式为 $y(x)=\iint_{\mathbb{R}^2} y(a(x-b))\,\mu(\mathrm{d}a,\mathrm{d}b)$（$x\in\mathbb{R}$）的原型函数方程，其中 $\mu$ 是 $\mathbb{R}^2$ 上的概率测度；等价地，$y(x)=\mathbb{E}\{y(\alpha(x-\beta))\}$，其中 $\mathbb{E}$ 是关于随机系数 $(\alpha,\beta)$ 的分布 $\mu$ 的期望。非平凡（即非常数）有界连续解的存在性由值 $K:=\iint_{\mathbb{R}^2}\ln|a|\,\mu(\mathrm{d}a,\mathrm{d}b)=\mathbb{E}\{\ln|\alpha|\}$ 决定；具体而言，在温和的技术条件下，只要 $K<0$ 就不存在此类解，而如果 $K>0$（且 $\alpha>0$），则存在一个非平凡解，该解构造为表示与 $(\alpha,\beta)$ 相关的自相似测度的某随机级数的分布函数。在超临界情形 $K>0$ 下获得了进一步结果，包括存在性、唯一性和极大值原理。$\mathbb{P}(\alpha<0)>0$ 的情形与 $\alpha>0$ 的情形截然不同；特别是，我们证明了在 $\pm\infty$ 处具有极限的有界解 $y(\cdot)$ 必为常数。证明采用了应用于鞅 $y(X_n)$ 的鞅方法，其中 $(X_n)$ 是一个具有 $x\rightsquigarrow\alpha(x-\beta)$ 形式跳跃的相关马尔可夫链。