多维随机递归方程平稳解的 Heavy Tail 性质

我们考虑如下具有随机独立同分布系数 $(a_n,b_n)$ 的递推关系：$$x_{n+1}=a_{n+1} x_n+b_{n+1}$$ 其中 $a_n\in GL(d,\mathbb{R}),b_n\in \mathbb{R}^d$。在 $(a_n,b_n)$ 的自然条件下，该方程有唯一的平稳解，且其支撑非紧。我们证明，一般地，其分布具有重尾(heavy tail)行为，并研究了相应的方向。这给出了一个在极大一般性下构造重尾分布的自然方法。我们的主要结果将 H. Kesten 在 [16] 中于正性或密度假设下所得的结果，以及最近在 [17] 中于特殊框架下发展的结果，推广到了一般情形。