极限算子、集体紧性与无穷矩阵的谱理论

在本文前半部分，我们探讨了极限算子的抽象理论（参见 Rabinovich、Roch & Silbermann 以及 Lindner 最近的专著）与 Chandler-Wilde 和 Zhang 引入的广义集体紧算子理论的概念和结果之间的相互关系。我们逐步推导出将这种广义集体紧算子理论应用于算子 $A$ 的极限算子集所得到的结果。在本文后半部分，我们研究广义序列空间 $\ell^p(\Z^N,U)$ 上的有界线性算子，其中 $p\in [1,\infty]$，$U$ 是某个复 Banach 空间。我们对 Fredholm 性、可逆性、无穷远处可逆性以及极限算子集的可逆性或单射性之间的联系进行了比以往更完整的研究，特别关注算子 $A$ 是恒等算子的局部紧扰动的情形。特别是，对于 $p=1$ 和 $\infty$ 这两个微妙的极限情形，我们得到了比先前已知更强的结果。我们在这部分研究中的工具是前半部分的结果以及对 $\ell^1$ 和 $\ell^\infty$ 之间部分对偶性的利用。本文后半部分的结果包括：对于一大类几乎周期算子，所有极限算子的单射性（经典 Favard 条件）蕴含可逆性的一个新证明，以及对于所谓 Wiener 代数中的算子，无穷远处可逆性和 Fredholm 性的刻画。在最后两章中，我们的结果通过具体例子加以说明和应用。首先，我们研究离散 Schrödinger 算子（包括自伴和非自伴）的谱和本质谱，包括具有几乎周期和随机势的算子。在最后一章，我们将结果应用于 $\R^N$ 上的积分算子。