映射类群上的长度函数与映射环面的单纯体积

设 $M$ 为闭可定向流形。我们在 $M$ 的映射类群 $\mathrm{MCG}(M)$ 上引入两个称为填充体积的数值不变量，它们由 $M$ 上奇异边界空间中的填充范数定义，分别带有实系数与整系数。我们证明填充体积是 $\mathrm{MCG}(M)$ 上的长度函数，并证明映射类 $f$ 的实填充体积等于相应映射环面 $E_f$ 的单纯体积，而 $f$ 的整填充体积不小于 $E_f$ 的稳定整单纯体积。我们讨论了填充体积的若干消失与非消失结果。作为应用，我们证明 $3$ 维映射环面的双曲体积关于其单值性不是次可加的，并且整边界上的实与整填充范数通常非双 Lipschitz 等价。