秩一扰动的左可逆性

对于作用于某 Hilbert 空间上的每个等距算子 $V$ 以及同一 Hilbert 空间中的向量对 $f$ 和 $g$，我们联系一个非负数 $c(V;f,g)$，定义为 $$c(V; f,g) = (\|f\|^2 - \|V^*f\|^2) \|g\|^2 + |1 + \langle V^*f , g\rangle|^2.$$ 我们证明秩一扰动 $V + f \otimes g$ 左可逆当且仅当 $$c(V;f,g) \neq 0.$$ 我们也考虑某些解析函数 Hilbert 空间上作为位移的等距算子的秩一扰动例子。这里，位移指由坐标函数 $z$ 乘实现的算子。最后，我们考察 $D + f \otimes g$，其中 $D$ 为具有非零对角元的对角算子，而 $f$ 和 $g$ 为具有非零傅里叶系数的向量。我们证明 $D + f\otimes g$ 左可逆当且仅当 $D+f\otimes g$ 可逆。